7/29日日记

今天开始正式投入随机控制的学习，感觉还不错？

Ito过程看起来和经典SDE的形式一样，但Ito的随机项已经固定是Brown运动了，SDE的随机项并不固定。

伊藤过程与伊藤积分的关系

伊藤过程是一个由布朗运动驱动的随机过程，它的变化 $dX_t$ 包含了布朗运动的增量项 $dW_t$ 。因此，伊藤过程本质上是通过布朗运动的增量来描述的，而布朗运动本身是不可预测的，因此我们无法使用传统的积分方法来描述伊藤过程的演化。

伊藤积分正是为了解决这种随机过程的积分问题而引入的。它允许我们对像布朗运动这样的随机过程进行积分。具体来说，在描述伊藤过程时，我们会遇到以布朗运动的增量为基础的积分，这就是伊藤积分。

例如，考虑一个简单的伊藤过程：
$$
dX_t = \mu(X_t, t) dt + \sigma(X_t, t) dW_t
$$
其中 $dW_t$ 是布朗运动的增量。为了求解这个方程的解（例如求 $X_t$ 的路径），我们需要对随机过程进行积分：
$$
X_t = X_0 + \int_0^t \mu(X_s, s) ds + \int_0^t \sigma(X_s, s) dW_s
$$
这里，第二项就是伊藤积分：
$$
\int_0^t \sigma(X_s, s) dW_s
$$
它是一个以布朗运动增量为基础的积分，帮助我们处理随机过程的随机扰动部分。